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La formule (16) paraît mériter l’attention des géomètres. Elle comprend, comme cas particuliers, des formules connues. Si l’on fait, par exemple, $f(x)=x^{2},$ elle donnera

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu \,d\nu }{e^{{\frac {2\pi }{a}}\nu }-1}}={\frac {a^{2}}{24}},$

puis, en prenant $a=2\pi ,$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu \,d\nu }{e^{\nu }-1}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Nous terminerons en observant que la théorie des intégrales singulières suffit pour déduire la formule (16) de la formule (9), quoique au premier abord ces deux formules ne paraissent pas d’accord entre elles.

Post-Scriptum. Dans les formules (3) et (4), le signe ${\mathcal {E}},$ placé devant la fonction $\varphi (z),$ indique, conformément aux notations adoptées pour le calcul des résidus des fonctions, la somme de plusieurs résidus de la fonction $\varphi (z),$ c’est-à-dire en général, la somme de plusieurs des valeurs du produit $\varepsilon \varphi (z+\varepsilon )$ correspondantes à des valeurs infiniment petites de $\varepsilon ,$ et à des valeurs infinies, réelles ou imaginaires de $z,$ qui vérifient l’équation

(17)

${\frac {1}{\varphi (z)}}=0.$

Les limites placées à droite et à gauche du signe ${\mathcal {E}}$ sont les quantités entre lesquelles doivent rester comprises 1^o les parties réelles, 2^o les coëfficients de ${\sqrt {-1}}$ dans les diverses va-