Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/799

leurs de $z$ tirées de l’équation (17). Ajoutons que la démonstration donnée ci-dessus de la convergence de la série (1) suppose évidemment 1^o que l’équation (2) peut être remplacée par l’équation (8), ce qui a effectivement lieu quand la fonction $f(\mu )$ conserve une valeur finie pour toutes les valeur finies réelles ou imaginaires de $\mu \,;$ 2^o que l’expression (11) ne devient pas indéterminée pour des valeurs infinies de $x,$ ce qui arriverait, par exemple, si l’on prenait $f(z)=e^{z^{2}}.$ Si ces conditions n’étaient pas remplies, la série (1) pourrait devenir divergente. C’est, en particulier, ce qui aurait lieu, si l’on prenait

$f(x)={\frac {1}{(a-2x)^{2}}},$

puisque alors le temps général de la série (1), ou l’intégrale

$2\int _{0}^{a}\cos .{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\frac {d\mu }{(a-2\mu )^{2}}},$

aurait une valeur infinie.

Observons encore que, si l’on veut obtenir sous forme finie le reste de la série comprise dans l’équation (2), il suffira de remplacer, dans la formule (10), les produits

$e^{-{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu },\qquad e^{{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu },$

par les fractions

${\frac {e^{-{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}{1-e^{-{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}},\qquad {\frac {e^{{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}{1-e^{{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}}.$