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second mémoire

cie $\mathrm {S}$ du sas n’est point négligeable relativement à la superficie $\mathrm {B}$ du bief supérieur, l’exhaussement qu’occasionne dans ce bief la descente d’un bateau $\mathrm {DS}$ sera toujours proportionnel à une certaine puissance de la fraction

$\mathrm {\frac {B}{B+S}} ,$

puissance dont la valeur sera d’autant moindre que le bateau occupera un rang plus avancé dans la série des passages consécutifs.

D’où l’on voit encore que le passage d’un bateau occasionera toujours dans le bief d’où il descend une élévation de niveau réelle, à moins que le nombre des bateaux déjà passés ne soit infini ; et dans ce cas, la somme des termes :

$\left(\mathrm {\frac {B}{B+S}} \right)^{0}+\left(\mathrm {\frac {B}{B+S}} \right)^{1}+\left(\mathrm {\frac {B}{B+S}} \right)^{2}+\left(\mathrm {\frac {B}{B+S}} \right)^{3}+\ldots$

$\ldots \left(\mathrm {\frac {B}{B+S}} \right)^{n-1}=\mathrm {\frac {B+S}{S}} ,$

donc

$u'+u''+u'''+u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots u^{(n-1)}=\mathrm {\frac {S}{B+S}} (\mathrm {D} -x)\mathrm {\frac {B+S}{S}} =\mathrm {D} -x\,;$

(14) La chute de l’écluse est alors $x+\mathrm {D} -x=\mathrm {D} .$ Par conséquent, la descente d’un nombre infini de bateaux par l’écluse qui termine le bief $\mathrm {B} ,$ rendrait la chute de cette écluse égale au tirant d’eau commun des bateaux qui la traversent ; mais il est clair que cette chute ne pourra jamais atteindre cette limite, puisque le nombre de ces bateaux ne peut jamais devenir infini.