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mémoire

avec les axes des $x,$ des $y$ et des $z,$ des angles respectivement égaux à $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ ou, en d’autres termes, telles que ces trois composantes soient entre elles dans le même rapport que les quantités $\mathrm {\cos .X,\cos .Y,\cos .Z} .$

Pour trouver la direction qui satisfait à cette condition je vais substituer aux trois inconnues $\mathrm {\cos .X,\cos .Y,\cos .Z}$ (qui se réduisent à deux par la relation $1=\mathrm {\cos .^{2}X+\cos .^{2}Y+\cos .^{2}Z} ),$ les tangentes des angles que les projections de la droite sur les plans $xz$ et $yz$ font avec l’axe des $z,$ afin de pouvoir conclure la réalité des angles de celle des valeurs des lignes trigonométriques données par le calcul. Soient donc $x=mz$ et, $y=zn$ les équations de la droite : on aura $m=\mathrm {\frac {\cos .X}{\cos .Z}}$ et $n=\mathrm {\frac {\cos .Y}{\cos .Z}} \,;$ or les tr ois composantes ci-dessus, que je représenterai par $p,q,r,$ doivent être entre elles dans le même rapport que les quantités $\mathrm {\cos .X,\cos .Y,\cos .Z} ,$ pour satisfaire à la condition dont nous venons de parler.

On a donc, ${\frac {p}{r}}=\mathrm {\frac {\cos .X}{\cos .Z}} =m,$ et ${\frac {q}{r}}=\mathrm {\frac {\cos .Y}{\cos .Z}} =n\,;$ ou mettant à la place de $p,q,r,$ leurs valeurs,

$m={\frac {a\cos .\mathrm {X} +h\cos .\mathrm {Y} +g\cos .\mathrm {Z} }{a\cos .\mathrm {Z} +g\cos .\mathrm {X} +f\cos .\mathrm {Y} }}={\frac {a\mathrm {\frac {\cos .X}{\cos .Z}} +h\mathrm {\frac {\cos .Y}{\cos .Z}} +g}{c+g\mathrm {\frac {\cos .X}{\cos .Z}} +f\mathrm {\frac {\cos .Y}{\cos .Z}} }},$

et,

$n={\frac {b\cos .\mathrm {Y} +h\cos .\mathrm {X} +f\cos .\mathrm {Z} }{c\cos .\mathrm {Z} +g\cos .\mathrm {X} +f\cos .\mathrm {Y} }}={\frac {b\mathrm {\frac {\cos .Y}{\cos .Z}} +h\mathrm {\frac {\cos .X}{\cos .Z}} +f}{c+g\mathrm {\frac {\cos .X}{\cos .Z}} +f\mathrm {\frac {\cos .Y}{\cos .Z}} }}\,;$

ou enfin,

$m={\frac {am+hn+g}{c+gm+fn}}\ldots \ldots (1),$

et

$n={\frac {bn+hm+f}{c+gm+fn}}\ldots \ldots (2),$