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mémoire

d’où l’on tire ${\frac {d\beta }{d\alpha }}={\frac {-m}{n}}\,;$ substituant dans l’équation différentielle ci-dessus, on trouve :

$v^{2}(\alpha n-\beta m)=a^{2}\alpha n-b^{2}\beta m.$

Si l’on combine cette relation avec l’équation $1=m\alpha +n\beta ,$ on en tire les valeurs suivantes pour $\alpha$ et $\beta \,:$

$\alpha ={\frac {\left(b^{2}-v^{2}\right)m}{\left(a^{2}-v^{2}\right)n^{2}+\left(b^{2}-v^{2}\right)m^{2}}},\qquad \beta ={\frac {\left(a^{2}-v^{2}\right)n}{\left(a^{2}-v^{2}\right)n+\left(b^{2}-v^{2}\right)m^{2}}}.$

Nous remarquerons en passant que ces expressions étant du premier degré, $\alpha$ et $\beta$ ne peuvent pas avoir plus de valeurs que $v^{2}.$ Or, en les substituant à la place de $\alpha$ et $\beta$ dans l’équation de la surface d’élasticité, on trouve,

$\left(a^{2}-v^{2}\right)\left(c^{2}-v^{2}\right)n^{2}+\left(b^{2}-v^{2}\right)\left(c^{2}-v^{2}\right)m^{2}+$

$\left(a^{2}-v^{2}\right)\left(b^{2}-v^{2}\right)=0\ldots \ldots (\mathrm {A} )\,:$

Cette équation étant seulement du second degré par rapport à $v^{2},$ n’en peut donner que deux valeurs ; ainsi, il n’y a deux élasticités différentes et deux directions du rayon que vecteur qui satisfont à la condition du maximum ou du minimum. Il est aisé de reconnaître, sans calculer les doubles valeurs de $\alpha$ et de $\beta ,$ que ces deux directions doivent toujours être rectangulaires ; car il résulte du théorème général sur les trois axes rectangulaires d’élasticité, que si l’on considère seulement les déplacements qui s’exécutent dans un plan et les composantes comprises dans le même plan, en faisant abstraction des forces qui lui sont perpendiculaires, il contient toujours deux directions rectangulaires, pour lesquelles la résultante des composantes comprises dans ce plan agit suivant la ligne même du déplacement : or ces