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mémoire

à $n$ et d’en éliminer ensuite $m$ et $n,$ à l’aide de ces deux nouvelles équations.

Ayant trouvé l’équation de la surface de l’onde par un calcul beaucoup plus court, il me suffisait de vérifier si elle satisfaisait à l’équation $(\mathrm {C} ),$ dans laquelle $m$ et $n$ représente le ${\frac {dz}{dx}}$ et le ${\frac {dz}{dy}}$ de la surface cherchée. J’ai suivi cette marche synthétique, parce qu’elle me semblait devoir être plus simple que l’élimination, et cependant les calculs dans lesquels elle m’a entraîné sont tellement longs et fastidieux que je ne crois pas devoir les transcrire ici. Je me contenterai de dire que la condition exprimée par l’équation $(\mathrm {C} )$ est satisfaite par l’équation suivante,

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}\right)-a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)x^{2}-$

$b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)y^{2}-c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}=0\ldots \ldots (\mathrm {D} ).$

J’étais parvenu à cette équation en déterminant d’abord l’intersection de la surface de l’onde avec chacun des plans coordonnés, intersection qui présente la réunion d’un cercle et d’une ellipse : j’avais remarqué ensuite qu’on obtenait une surface qui offrait le même caractère, lorsque l’on coupait l’ellipsoïde par une suite de plans diamétraux et qu’on menait par son centre, perpendiculairement à chaque plan, des rayons vecteurs égaux à la moitié de chacun des axes de la section diamétrale ; car la surface qui passe par les extrémités de tous ces rayons vecteurs ainsi déterminés, donne aussi la réunion d’un cercle et d’une ellipse dans son intersection avec les trois plans coordonnés ; elle est d’ailleurs du quatrième degré seulement, et l’identité des sections faites par les trois plans diamétraux conjugués rectangulaires dans ces deux surfaces, m’aurait suffi pour établir leur