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$\xi$ étant une constante dépendante de la différence d’aplatissement des deux hémisphères, qu’on devra supposer peu considérable par rapport à l’aplatissement moyen, et, par exemple, au-dessous d’un dix-millième. Faisons en outre

$\mathrm {C} ={\frac {2\mathrm {M} r'^{2}}{5\sigma }}\,;$

$\sigma$ étant une quantité qui diffère peu de l’unité d’après l’observation. Si l’on forme les parties de $\mathrm {D}$ relatives aux actions du soleil et de la lune ; que l’on élimine les masses $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L} '$ comme précédemment, et la masse $\mathrm {M}$ au moyen de cette dernière équation, on aura

$\mathrm {D} ={\frac {1}{2}}\mathrm {C} m^{2}\xi \sigma \left({\frac {r'\rho ^{3}\gamma ^{3}}{\delta ^{7}}}-{\frac {5r'\rho ^{3}\gamma }{3\delta ^{5}}}+{\frac {\omega r'\rho '^{3}\gamma '^{3}}{\delta '^{7}}}-{\frac {5\omega r'\rho '^{3}\gamma '}{3\delta '^{5}}}\right).$

(13)

Cette valeur de $\mathrm {D}$ suffira, en général, à l’objet que nous nous proposons ; elle ne contient, comme on voit, que des puissances impaires de $\gamma$ et $\gamma '\,;$ elle renfermerait des puissances semblables des autres coordonnées $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',$ si l’on avait égard à la non-symétrie de la terre autour de son axe : nous donnerons plus bas un exemple du peu d’influence sur le mouvement de la terre, des termes de $\mathrm {D}$ qui résulteraient de cette considération.

(14) La valeur la plus générale de $\mathrm {Y} _{2}$ est de la forme :

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{2}=\eta _{1}\left({\frac {1}{3}}-\cos .^{2}u_{1}\right)&+\eta _{1}'\sin .^{2}u_{1}\cos .2v_{1}-\eta _{1}''\sin .^{2}u_{1}\sin .2v_{1}\\&+\eta _{1}'''\sin .2u_{1}\cos .v_{1}+\eta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin .2u_{1}\sin .v_{1}\,;\end{aligned}}$

$\eta ,\,\eta ',\,\eta '',\,\eta ''',\,\eta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ étant cinq coëfficients constants. En la substituant dans l’équation (12), on en conclura en premier lieu

$\eta ''=0,\qquad \eta '''=0,\qquad \eta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\,;$