Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/353

bre $n$ et par une quantité très-peu différente de la dérivée du second ordre de $\operatorname {l} \left({\frac {1}{u}}\right)$^[1]. Lorsque l’intégrale renferme une certaine constante $r,$ et a néanmoins une valeur indépendante de $r,$ on peut disposer de cette constante de manière que le plus grand module de $u$ réponde à une valeur nulle de ${\frac {du}{dx}},$ et par conséquent de manière à obtenir la valeur très-approchée de l’intégrale que l’on considère. Pour y parvenir, il suffit de chercher les valeurs de $r$ et de $x$ qui vérifient simultanément les deux équations réelles comprises dans l’équation imaginaire

${\frac {du}{dx}}=0.$

Parmi ces valeurs se trouvera nécessairement la valeur demandée de la constante $r.$ Donc cette valeur sera une racine de l’équation transcendante que fournira l’élimination de $x$ entre les équations réelles dont je viens de parler.

Je recherche ensuite les valeurs approchées des différentielles dont l’ordre est très-considérable, quand la fonction sous le signe $\int$ renferme des fonctions élevées à de très-hautes puissances. J’y parviens en transformant ces différentielles en intégrales définies qui renferment une constante arbitraire dont leurs valeurs sont indépendantes. La détermination approximative des différentielles dont il s’agit dépend encore de la résolution d’une équation transcendante qui fixe la valeur de la constante arbitraire.

1. Dans le cas particulier où les fonctions $u,v$ se réduisent à des quantités réelles, le résultat que nous indiquons ici s’accorde avec une formule donnée par M. Laplace.