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(13)

$u=e^{\mathrm {W+W'} {\frac {t}{\sqrt {n}}}+\mathrm {W} ''{\frac {t^{2}}{2n}}\ldots }$

(14)

$u''=e^{n\mathrm {W+W'} t{\sqrt {n}}+{\frac {\mathrm {W} ''}{2}}t^{2}\ldots }=e^{n\mathrm {\left(W-{\frac {W'^{2}}{2W''}}\right)} }e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}\left(t+\mathrm {\frac {W'}{W''}} {\sqrt {n}}\right)^{2}}$

(15)

$\int _{\mathrm {X} -{\frac {a}{\sqrt {n}}}}^{\mathrm {X} +{\frac {a}{\sqrt {n}}}}u^{n}vdx={\frac {e^{n\mathrm {\left(W-{\frac {W'^{2}}{2W''}}\right)} }}{\sqrt {n}}}\int _{-a}^{a}e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}\left(t+\mathrm {\frac {W'}{W''}} {\sqrt {n}}\right)^{2}}\mathrm {V} dt$

L'équation (15) suppose que ${\frac {a}{\sqrt {n}}}$ est très-petit, ce qui peut avoir lieu, même lorsque $a$ prend une valeur considérable, par exemple, lorsqu'on fait $a={\sqrt[{3}]{n}},a={\sqrt[{4}]{n}},$ etc… Alors on a sensiblement, pourvu que la partie réelle de $\mathrm {W} ''$ soit négative

(16)

$\int _{-a}^{a}e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}t^{2}}\mathrm {V} dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(-{\frac {\mathrm {W''} }{2}}\right)t^{2}}\mathrm {V} dt=\mathrm {V} {\sqrt {\left({\frac {2\pi }{-\mathrm {W} ''}}\right)}}.$

Par suite, si, la partie réelle de $\mathrm {W} ''$ étant négative, la condition

(17)

$\mathrm {W} '=0$

se trouve remplie, l'équation (15) donnera sensiblement

(18)

$\int _{\mathrm {X} -{\frac {a}{\sqrt {n}}}}^{\mathrm {X} +{\frac {a}{\sqrt {n}}}}u^{n}vdx={\frac {\mathrm {V} e^{n\mathrm {W} }}{\sqrt {n}}}{\sqrt {\left({\frac {2\pi }{-\mathrm {W} ''}}\right)}}.$

Si $\mathrm {W} '$ n'était pas nul, il ne serait pas possible de remplacer l'intégrale

$\int _{-a}^{a}e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}\left(t+\mathrm {\frac {W'}{W''}} {\sqrt {n}}\right)^{2}}dt$