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par

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}\left(t+\mathrm {\frac {W'}{W''}} {\sqrt {n}}\right)^{2}}dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}t^{2}}dt.$

Car on aurait évidemment

(19)

$\int _{-a}^{a}e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}\left(t+\mathrm {\frac {W'}{W''}} {\sqrt {n}}\right)^{2}}dt=\int _{-a-\mathrm {\frac {W'}{W''}} {\sqrt {n}}}^{a-\mathrm {\frac {W'}{W''}} {\sqrt {n}}}e^{{\frac {\mathrm {W''} }{2}}t^{2}}dt,$

et, $a$ étant très-petit par rapport à ${\sqrt {n}},$ les limites de l'intégrale comprise dans le second membre de la formule (19) seraient des infinis de même signe. Donc cette intégrale serait sensiblement nulle si la partie réelle de $\mathrm {W} ''$ était négative. Au contraire, si la partie réelle de $\mathrm {W} ''$ était positive, l'intégrale comprise dans le second membre de la formule (19) deviendrait infinie.

Soient maintenant

(20)

$w=p+q{\sqrt {-1}},$

et $\mathrm {P,\,P',\,P'',\,Q,\,Q',\,Q''}$ ce que deviennent $p,\,p',\,p'',\,q,\,q',\,q''$ quand on pose $x=\mathrm {X} .$ On aura

(21)

$u=e^{w}=e^{p}\left(\cos .q+{\sqrt {-1}}\sin .q\right).$

Donc $e^{p}$ sera le module de $u.$ De plus on trouvera

(22)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {W=P+Q{\sqrt {-1}},\qquad W'=P'+Q'{\sqrt {-1}}} ,\\&\mathrm {W''=P''+Q''{\sqrt {-1}}.} \end{aligned}}\right.$

Donc, si $\mathrm {W} '$ est nul, on aura

(23)

$\mathrm {P} '=0,\quad \mathrm {Q} '=0,$