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(28)

$\mathbf {S} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}u^{n}vdx=(1\pm \varepsilon )\int _{\mathrm {X} -{\frac {a}{\sqrt {n}}}}^{\mathrm {X} +{\frac {a}{\sqrt {n}}}}u^{n}vdx,$

$\varepsilon$ désignant un nombre très-petit et qui s'évanouisse avec ${\frac {1}{n}}.$ Donc, par suite, on trouvera

(29)

$\mathbf {S} =(1\pm \varepsilon )\mathrm {\frac {V}{B}} {\frac {e^{n\mathrm {P} }{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {n}}}(\cos .\theta )^{\frac {1}{2}}e^{\left(n\mathrm {Q} -{\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {-1}}}.$

Si l'on fait, pour plus de commodité,

(30)

$\mathrm {V=A} \left(\cos .\Theta +{\sqrt {-1}}\sin .\Theta \right),$

on aura

(31)

$\mathbf {S} =(1\pm \varepsilon )\mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {e^{n\mathrm {P} }{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {n}}}(\cos .\theta )^{\frac {1}{2}}e^{\left(n\mathrm {Q} +\Theta -{\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {-1}}}.$

Si l'intégrale $\mathbf {S}$ a une valeur réelle, on aura nécessairement

(32)

$\mathbf {S} =(1\pm \varepsilon )\mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {e^{n\mathrm {P} }{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {n}}}(\cos .\theta )^{\frac {1}{2}}.$

On doit toutefois excepter le cas où deux valeurs de $x$ correspondraient au maximum maximorum de $p.$ Admettons cette dernière hypothèse, et supposons que, dans le passage de la première valeur de $x$ à la seconde, $\mathrm {A,\,B,\,P}$ ne varient pas, et que $\mathrm {Q} ,\,\Theta ,\,\theta$ changent seulement de signe. L'intégrale $\mathbf {S}$ sera évidemment déterminée par une équation de la forme

(33)

${\begin{aligned}\mathbf {S} &=(1\pm \varepsilon _{1})\mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {e^{n\mathrm {P} }{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {n}}}(\cos .\theta )^{\frac {1}{2}}e^{\left(n\mathrm {Q} +\Theta -{\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {-1}}}\\&+(1\pm \varepsilon _{2})\mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {e^{n\mathrm {P} }{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {n}}}(\cos .\theta )^{\frac {1}{2}}e^{-\left(n\mathrm {Q} +\Theta -{\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {-1}}},\end{aligned}}$