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Il est bon d’observer que l’expression (13), divisée par $n,$ deviendra le terme général de la série trouvée par Lagrange, et qui représente la valeur de $\int \varphi (z)dz,$ $z$ étant une racine de l’équation

(16)

$z=t+\varpi (z).$

i^er Exemple. Considérons l'équation

(17)

$z=t+c\sin .z.$

On aura, dans ce cas,

(18)

$\left\{{\begin{aligned}\varpi (z)&=c\sin .z,\\{\frac {\varpi (t+x)}{x}}&=c{\frac {\sin .(t+x)}{x}}.\end{aligned}}\right.$

Il reste à trouver le module principal de la fonction

(19)

$c{\frac {\sin .(t+x)}{x}}=c{\frac {\sin .\left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{re^{s{\sqrt {-1}}}}}.$

Or ce module répond nécessairement à une racine de l'équation

(20)

${\frac {d\left({\frac {\sin .(t+x)}{x}}\right)}{dx}}=0,$

ou

(21)

$d\operatorname {l} \sin .(t+x)-d\operatorname {l} (x)=0,$

que l'on peut réduire à

(22)

$\operatorname {tang} .(t+x)=x.$

Cela posé, soit d'abord $t={\frac {\pi }{2}}.$ L'équation (22) deviendra