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(37)

$\left\{{\begin{aligned}v&=\Phi '({\frac {\pi }{2}}+re^{s{\sqrt {-1}}}).re^{s{\sqrt {-1}}}\\u&=c{\frac {\cos .\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{re^{s{\sqrt {-1}}}}}\\w=p+q{\sqrt {-1}}&=\operatorname {l} \left[\cos .\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\right]-\left[\operatorname {l} (r)+s{\sqrt {-1}}\right]+\operatorname {l} (c).\end{aligned}}\right.$

Cela posé, on trouvera

(38)

$\left\{{\begin{aligned}w'&=p'+q'{\sqrt {-1}}=-{\sqrt {-1}}\left[re^{s{\sqrt {-1}}}\operatorname {tang} .\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)+1\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad ={\frac {d\left(p+q{\sqrt {d-1}}\right)}{s}}\\w''&=p''+q''{\sqrt {-1}}=\left\{re^{s{\sqrt {-1}}}\operatorname {tang} .\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)+{\frac {r^{2}e^{2s{\sqrt {-1}}}}{\cos .^{2}\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}}\right\}.\end{aligned}}\right.$

Par suite l'équation $w'=0$ donnera

(39)

$re^{s{\sqrt {-1}}}\operatorname {tang} .\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)+1=0,$

et se réduira ainsi à la formule (23). De plus, $r$ et $s$ étant déterminés par la formule (39), ou ce qui revient au même par les équations

(40)

$s={\frac {\pi }{2}},\quad {\frac {e^{r}-e^{-r}}{e^{r}+e^{-r}}}={\frac {1}{r}},$

la seconde des formules (38) donnera

(41)

$\mathrm {W''=P''+Q''} {\sqrt {-1}}=-\left[1+{\frac {4r^{2}}{\left(e^{r}+e^{-r}\right)^{2}}}\right]=-\left[1+r^{2}-1\right]=-r^{2}.$

On aura donc

(42)

$\mathrm {B^{2}=-P''} =r^{2},\quad \mathrm {Q} ''=0,\quad \theta =0,\quad \mathrm {B} =r.$

On trouvera de même

(43)

$\mathrm {U} =e^{\mathrm {P+Q{\sqrt {-1}}} }=c{\frac {\cos .\left(r{\sqrt {-1}}\right)}{r{\sqrt {-1}}}}=-{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}{\sqrt {-1}},$