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et par suite

(44)

$\mathrm {R} =e^{\mathrm {P} }={\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-1}}},\quad \mathrm {Q} =-{\frac {\pi }{2}}.$

Si l'on fait d'ailleurs

(45)

$\mathrm {V} =r{\sqrt {-1}}\Phi '\left({\frac {\pi }{2}}+r{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {A} \left(\cos .\Theta +{\sqrt {-1}}\sin .\Theta \right),$

la formule (37) du premier paragraphe donnera

(46)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {(1\pm \varepsilon )}{2\pi }}{\frac {2A}{r}}\left(c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}\right)^{n}{\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {n}}}\cos .\left(\Theta -{\frac {n\pi }{2}}\right).$

Soit en particulier

(47)

$\Phi (z)=1-c\cos .z.$

On trouvera

(48)

$\Phi '(z)=c\sin .z,$

(49)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {V} &=cr{\sqrt {-1}}\cos .\left(r{\sqrt {-1}}\right)=cr\left({\frac {e^{r}+e^{-r}}{2}}\right){\sqrt {-1}},\\\mathrm {A} &=cr\left({\frac {e^{r}+e^{-r}}{2}}\right),\quad \Theta ={\frac {\pi }{2}},\end{aligned}}\right.$

(50)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {(1\pm \varepsilon )}{2\pi }}2r\left(c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}\right)^{n+1}{\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {n}}}\cos .(n-1){\frac {\pi }{2}},$

(51)

${\frac {\mathbf {S} _{n}}{n}}={\frac {(1\pm \varepsilon )}{2\pi }}{\frac {2r{\sqrt {2\pi }}}{n{\sqrt {n}}}}\left(c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}\right)^{n+1}\cos .(n-1){\frac {\pi }{2}}$

$={\frac {(1\pm \varepsilon )}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {2r}{n{\sqrt {n}}}}\left({\frac {c}{\sqrt {r^{2}-1}}}\right)^{n+1}\cos .(n-1){\frac {\pi }{2}}.$

La formule (51) s'accorde avec celle qu'a donnée M. Laplace.

Revenons au cas où $t$ a une valeur quelconque. Alors, en faisant, pour abréger,

(52)

$x=re^{s{\sqrt {-1}}},$