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on aura

(59)

$x^{2}=\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha \beta {\sqrt {-1}}\,;$

et la partie réelle de $x^{2}$ ne pourra être négative, si l’on a $\alpha ^{2}>\beta ^{2}.$ Ajoutons que la valeur $x=\alpha +\beta {\sqrt {-1}},$ substituée dans l’équation (55), donnera

(60)

${\begin{aligned}\alpha +\beta {\sqrt {-1}}&={\frac {\sin .\left(t+\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)}{\cos .\left(t+\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)}}\\&={\frac {2\sin .\left(t+\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\cos .\left(t+\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)}{2\cos ..\left(t+\alpha +\beta {\sqrt {-1}}\right)\cos .\left(t+\alpha -\beta {\sqrt {-1}}\right)}}\\&={\frac {\sin .(2t+2\alpha )+{\frac {1}{2}}\left(e^{2\beta }-e^{-2\beta }\right){\sqrt {-1}}}{\cos .(2t+2\alpha )+{\frac {1}{2}}\left(e^{2\beta }+e^{-2\beta }\right)}},\end{aligned}}$

(61)

$\alpha ={\frac {\sin .(2t+2\alpha )}{\cos .(2t+2\alpha )+{\frac {1}{2}}\left(e^{2\beta }+e^{-2\beta }\right)}},\quad \beta ={\frac {{\frac {1}{2}}\left(e^{2\beta }-e^{-2\beta }\right)}{\cos .(2t+2\alpha )+{\frac {1}{2}}\left(e^{2\beta }+e^{-2\beta }\right)}}.$

Donc par suite, si $\alpha$ et $\beta$ diffèrent de zéro, l'on aura

(62)

${\frac {\sin .(2t+2\alpha )}{2\alpha }}={\frac {e^{2\beta }-e^{-2\beta }}{4\beta }}>1.$

Or l’équation (62) ne peut subsister, ni pour $t=0,$ ni pour $t={\frac {\pi }{2}},$ ou $2t=\pi ,$ puisque alors le premier membre se réduit à $\pm {\frac {\sin .2\alpha }{2\alpha }}$ dont la valeur numérique est inférieure à l’unité. Donc, dans l’un et l’autre cas, il faut supposer $\alpha =0\,;$ ce qui réduit la seconde des équations (61), pour $t=0$ à

(63)

$\beta ={\frac {e^{2\beta }-e^{-2\beta }}{\left(e^{\beta }+e^{-\beta }\right)^{2}}}={\frac {e^{\beta }-e^{-\beta }}{e^{\beta }+e^{-\beta }}},\quad {\text{ou}}\quad \beta =0,$

et, pour $t={\frac {\pi }{2}},$ à

(64)

$\beta ={\frac {e^{2\beta }-e^{-2\beta }}{\left(e^{\beta }-e^{-\beta }\right)^{2}}}={\frac {e^{\beta }+e^{-\beta }}{e^{\beta }-e^{-\beta }}}.$