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La formule (64) s’accorde avec la seconde des équations (40). Quant au cas où l’on suppose $t=0,$ il donne à la fois $\alpha =0,$ $\beta =0,$ et par conséquent $x=0.$ Donc alors le module principal de l’expression (53) correspond à $x=0,$ et se réduit à

(65)

$c{\frac {\sin .x}{x}}=c.$

Donc, dans le même cas, la série de Lagrange sera convergente, si l’on a

(66)

$c<1.$

2^e Exemple. Considérons l’équation

(67)

$z=\cos .\theta +{\frac {\alpha }{2}}\left(z^{2}-1\right).$

La série de Lagrange appliquée à cette équation du second degré fournira le développement en série de l’une de ses racines, savoir :

(68)

$z={\frac {1-\left(1-2\alpha \cos .\theta +\alpha ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}{\alpha }}\,;$

et, si l’on pose, pour abréger, $\cos .\theta =t,$ ce développement sera

(69)

$z=t+{\frac {\alpha }{2}}(t^{2}-1)+{\frac {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}}{1.2}}{\frac {d(t^{2}-1)^{2}}{dt}}+\ldots +{\frac {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{n}}{1.2.3\ldots n}}{\frac {d^{n-1}(t^{2}-1)^{n}}{dt^{n-1}}}+{\text{etc}}.$

Ici, la fonction $\varpi (z)$ étant donnée par l’équation

(70)

$\varpi (z)={\frac {\alpha }{2}}\left(z^{2}-1\right),$

la série de Lagrange sera convergente lorsque le module principal de la fonction