(79)
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Donc le module principal de la fonction (71) sera
et la série (69) sera toujours convergente pour
On peut en dire autant de toute série qui représentera le développement de
![{\displaystyle \Phi (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d3bc7f29b1c5d9c06a84fda70ff3a9e5ac73b4)
étant une fonction quelconque, et
étant déterminée par la formule (68).
Si l’on voulait développer, en série ordonnée suivant les puissances de
le radical
(80)
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on observerait que ce radical est équivalent à
(81)
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désignant la racine de l'équation (67) ou
(82)
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qui se développe par la formule de Lagrange. On aurait par suite en observant que la dérivée du premier membre de l’équation (82) est précisément ![{\displaystyle 1-\alpha z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6732684a0ce7a5a05fbf1bbf9b8b9d905d5293a4)
(83)
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![{\displaystyle ={\mathcal {E}}{\frac {1}{\left(\left(z-t-{\frac {\alpha }{2}}\left(z^{2}-1\right)\right)\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49c090dd55e74dbc1bd7957515d33976f0ad14f)
ou, ce qui revient au même,