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(84)

${\frac {1}{1-\alpha z}}={\mathcal {E}}{\frac {1}{((z-t))}}+{\frac {\alpha }{2}}{\mathcal {E}}{\frac {z^{2}-1}{(((z-t)^{2}))}}+{\frac {\alpha ^{2}}{2^{2}}}{\mathcal {E}}{\frac {(z^{2}-1)^{2}}{(((z-t)^{3}))}}+{\text{etc}}.$

ou bien encore

(85)

${\frac {1}{1-\alpha z}}=1+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {d\left(t^{2}-1\right)}{dt}}+{\frac {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}\left(t^{2}-1\right)^{2}}{dt^{2}}}+\ldots$

$+{\frac {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{n}}{1.2.3\ldots n}}{\frac {d^{n}\left(t^{2}-1\right)^{n}}{dt^{n}}}+{\text{etc}}.$

Ainsi l'on trouvera, en posant $\cos .\theta =t,$

(86)

$(1-2\alpha \cos .\theta +\alpha ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=$

$1+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {d\left(t^{2}-1\right)}{dt}}+{\frac {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}\left(t^{2}-1\right)^{2}}{dt^{2}}}+\ldots +{\frac {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{n}}{1.2.3\ldots n}}{\frac {d^{n}\left(t^{2}-1\right)^{n}}{dt^{n}}}+{\text{etc}}.$

Or cette dernière série sera convergente, lorsque le module principal de la fonction

${\frac {\alpha }{2}}{\frac {(t+x)^{2}-1}{x}},$

c'est-à-dire la quantité $\alpha ,$ sera inférieur à l'unité.

Soit maintenant

(87)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{n}}{1.2.3\ldots n}}{\frac {d^{n}\left(t^{2}-1\right)^{n}}{dt^{n}}}$

le terme général de la série (86). On aura

(88)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left\{{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)^{2}-1}{re^{s{\sqrt {-1}}}}}\right\}^{n}ds.$

En comparant cette valeur de $\mathbf {S} _{n}$ à l'intégrale (1) du premier paragraphe, on trouvera $s=x,$

(89)

$u={\frac {\alpha }{2}}{\frac {\left(t+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)^{2}-1}{re^{s{\sqrt {-1}}}}},\quad v={\frac {1}{2\pi }}.$