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et par conséquent

$v=\varphi (x),\quad w=\operatorname {l} \left[\psi (x)\right]-\operatorname {l} (x),$

on trouvera ${\frac {dx}{ds}}=x{\sqrt {-1}},$

(4)

${\frac {dw}{ds}}=\left({\frac {\psi '(x)}{\psi (x)}}-{\frac {1}{x}}\right){\frac {dx}{ds}}=\left({\frac {\psi '(x)}{\psi (x)}}x-1\right){\sqrt {-1}}$

(5)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}w}{ds^{2}}}&={\sqrt {-1}}\left[{\frac {\psi '(x)}{\psi (x)}}+{\frac {\psi ''(x)}{\psi (x)}}x-x\left({\frac {\psi '(x)}{\psi (x)}}\right)^{2}\right]{\frac {dx}{ds}}\\&=-\left[{\frac {x^{2}\psi ''(x)}{\psi (x)}}+{\frac {x\psi '(x)}{\psi (x)}}-\left({\frac {x\psi '(x)}{\psi (x)}}\right)^{2}\right].\end{aligned}}$

Donc la valeur $\omega$ de $x$ vérifiera l'équation ${\frac {dw}{ds}}=0,$ ou

(6)

$\omega {\frac {\psi '(\omega )}{\psi (\omega )}}-1=0,$

et la valeur correspondante de ${\frac {d^{2}w}{ds^{2}}}=p''+q''{\sqrt {-1}}$ sera [voyez le § I^er],

(7)

$\mathrm {W''=P''+Q''} {\sqrt {-1}}=-{\frac {\omega ^{2}\psi ''(\omega )}{\psi (\omega )}}.$

Quant à la valeur de

$\mathrm {U} =e^{\mathrm {W} },$

elle sera

(8)

$e^{\mathrm {W} }={\frac {\psi (\omega )}{\omega }}.$

Enfin on aura

(9)

$\mathrm {V} =\varphi (\omega ).$

Cela posé, le second membre de la formule (18) du § I^er deviendra

(10)

${\frac {\varphi (\omega )\left({\cfrac {\psi (\omega )}{\omega }}\right)^{n}}{\sqrt {n}}}{\frac {\sqrt {2\mu }}{\sqrt {\left({\cfrac {\omega ^{2}\psi ''(\omega )}{\psi (\omega )}}\right)}}}.$