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${\begin{aligned}&{\frac {\psi (\omega )}{\omega }}=\alpha \left(\cos .\theta +{\sqrt {-1}}\sin .\theta \right),\\&\left({\frac {\psi (\omega )}{\omega }}\right)^{n}=\alpha ^{n}\left(\cos .n\theta +{\sqrt {-1}}\sin .n\theta \right),\\&\left({\frac {\psi (\omega )}{\omega ^{2}\psi ''(\omega )}}\right)^{\frac {1}{2}}={\frac {\cos .\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\sqrt {-1}}\sin ..\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}{(\sin .\theta )^{\frac {1}{2}}}},\quad \varphi (\omega )=1,\end{aligned}}$

et par suite

(17)

$\Omega +\Omega _{1}{\sqrt {-1}}={\frac {\alpha ^{n}}{(\sin .\theta )^{\frac {1}{2}}}}\left[\cos .\left(n\theta +{\frac {\theta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\sqrt {-1}}\sin .\left(n\theta +{\frac {\theta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right],$

(18)

$\Omega ={\frac {\alpha ^{n}}{(\sin .\theta )^{\frac {1}{2}}}}\cos .\left(n\theta +{\frac {\theta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).$

Donc la formule (13) donnera

(19)

$\mathbf {S} _{n}=(1\pm \varepsilon ){\frac {\alpha ^{n}\cos .\left(n\theta +{\frac {\theta }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi n\sin .\theta }}}\,;$

ce que l'on savait déja.

Supposons maintenant qu'il s'agisse de calculer

(20)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}\,{\frac {d^{n-1}\left[\Phi '(t)\left(\varpi (t)\right)^{n}\right]}{dt^{n-1}}}.$

On aura évidemment, pourvu que l'on pose après les différentiations $i=0,$ (21)

(21)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{1.2.3\ldots n}}\,{\frac {d^{n}\left\{i\Phi '(t+i)\left[\varpi (t+i)\right]^{n}\right\}}{di^{n}}}.$

Donc, pour déduire la valeur de $\mathbf {S} _{n}$ des formules (12) et (13), il suffira de prendre

(22)

$\varphi (x)=x\Phi '(t+x),\quad \psi (x)=\varpi (t+x).$

On aura donc