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(23)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1\pm \varepsilon }{\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi n}}}\Omega ,$

la valeur de $\Omega$ étant donnée par l’équation

(24)

$\omega \Phi '(t+\omega )\left[{\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega }}\right]^{n}\left[{\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega ^{2}\varpi ''(t+\omega )}}\right]^{\frac {1}{2}}=\Omega +\Omega _{1}{\sqrt {-1}}.$

Si le module principal de la fonction ${\frac {\varpi (t+x)}{x}}$ correspondait à une valeur unique de $x,$ on aurait simplement

(25)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1\pm \varepsilon }{\sqrt {2\pi n}}}\omega \Phi '(t+\omega )\left[{\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega }}\right]^{n}\left[{\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega ^{2}\varpi ''(t+\omega )}}\right]^{\frac {1}{2}}.$

Dans le cas particulier où l’on suppose

(26)

$\Phi '(t)=\varpi (t),$

l’équation (24) se réduit à

(27)

$\omega ^{2}\left[{\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega }}\right]^{n+1}\left[{\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega ^{2}\varpi ''(t+\omega )}}\right]^{\frac {1}{2}}=\Omega +\Omega _{1}{\sqrt {-1}}.$

Exemple. Appliquons les formules (23) et (27) au cas où l’on a

(28)

$\varpi (t)=c\sin .t.$

Dans ce cas, on tire de la formule (6), en y remplaçant $\psi (x)$ par $\varpi (t+x)$

(29)

${\frac {\omega \cos .(t+\omega )}{\sin .(t+\omega )}}=1.$

On trouve de plus

(30)

${\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega }}=c{\frac {\sin .(t+\omega )}{\omega }},$

(31)

${\frac {\varpi (t+\omega )}{\omega ^{2}\varpi ''(t+\omega )}}=-{\frac {1}{\omega ^{2}}}.$