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quand on développe $\psi (\zeta )=\psi \left(x+{\overline {\zeta -x}}\right)$ suivant les puissances ascendantes de $\zeta -x.$ Effectivement $f(\zeta )$ est ce que devient le produit

(19)

${\begin{aligned}&{\frac {h^{n}}{(\zeta -x)^{n}}}\psi (z)=\\&{\frac {h}{\zeta -x}}\left({\frac {\varpi '(z)}{\varpi (\zeta )}}\right)^{n-1}{\frac {z-\zeta }{z-x-h\varpi (z)}}\left[\varpi (z)-(z-x)\varpi '(z)\right]f(z),\end{aligned}}$

quand on y pose $z=\zeta ,$ puisqu’alors ce même produit se réduit à

(20)

${\frac {h}{\zeta -x}}{\frac {1}{1-h\varpi '(\zeta )}}\left[\varpi (\zeta )-(\zeta -x)\varpi '(\zeta )\right]f(\zeta )=f(\zeta ).$

De plus, il est facile de s’assurer que

(21)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {h^{n}}{(\zeta -x)^{n}}}\left\{\psi (z)+{\frac {\zeta -x}{1}}\psi '(x)+\ldots +{\frac {(\zeta -x)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}\psi ^{(n-1)}(x)\right\}=\\&f(x)+{\frac {h}{1}}f'(x)\varpi (x)+\ldots +{\frac {h^{n-1}}{1.2\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-2}\left[f'(x)\left(\varpi (x)\right)^{n-1}\right]}{dx^{n-2}}}.\end{aligned}}\right.$

Ainsi, par exemple, si l’on pose $n=1,$ on aura

${\frac {h}{\zeta -x}}\psi (x)={\frac {h}{\zeta -x}}.{\frac {x-\zeta }{-h\varpi (x)}}\varpi (x)f(x)=f(x).$

Si l’on pose $n=2,$ on trouvera

${\frac {h^{2}}{(\zeta -x)^{2}}}\left\{\psi (x)+{\frac {\zeta -x}{1}}\psi '(x)\right\}=f(x)+{\frac {h}{1}}f'(x)\varpi (x)$

etc.…

Ajoutons que la valeur de $r_{n},$ donnée par l’équation (16), peut être présentée sous la forme

(22)

$r_{n}={\frac {h^{n}}{1.2.3\ldots n}}\psi ^{(n)}(s),$

$s$ désignant une quantité comprise entre les limites $x$ et $\zeta .$

Il est encore essentiel de remarquer que l’on a générale-