§ II.
Pour obtenir, sous forme d’intégrale définie, la valeur de
il suffit de remarquer qu’on a généralement
(14)
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![{\displaystyle +{\frac {(z-x)^{n}}{1.2\ldots (n-1)}}\int _{0}^{1}u^{n-1}\psi ^{(n)}\left[z-u(z-x)\right]du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fafeeb1fa34b84e47b55d0f997a859de1b5590)
Or, si l’on substitue la valeur précédente de
dans l’équation (12), en observant que l’on a, pour toutes les valeurs entières et positives de
![{\displaystyle {\mathcal {E}}{\frac {1}{(((z-x)^{m}(z-\zeta )))}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f29c33da03a09ea162529c326f45aa9c60666c7)
on trouvera
(15)
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ou, ce qui revient au même,
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Ainsi, pour obtenir le reste
de la série de Lagrange, il suffit de multiplier le rapport
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par l'expression
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qui représente le reste de la série à laquelle on parvient,