Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/390

(28)

$f(x),\quad {\frac {h}{1}}f'(x)\varpi (x),\quad {\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left\{f'(x)\left[\varpi (x)\right]^{2}\right\}}{dx}},{\text{ etc}}.$

étant convergente, les fonctions $f(x),\,\varpi (x)$ sont elles-mêmes développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de $x.$ Pour y parvenir, supposons d’abord $f(x)=x,$ et faisons

(29)

$\mathrm {X} =x+{\frac {h}{1}}\varpi (x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[\varpi (x)\right]^{2}}{dx}}+{\text{etc}}.$

On tirera de l’équation (29) multipliée plusieurs fois de suite par elle-même, en ayant égard à une formule établie dans le i^er volume des Exercices de mathématiques [page 52],

(30)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {X} ^{2}=x^{2}+{\frac {h}{1}}\left[2x\varpi (x)\right]+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[2x\left(\varpi (x)\right)^{2}\right]}{dx}}+{\text{etc}}.,\\&\mathrm {X} ^{3}=x^{3}+{\frac {h}{1}}\left[3x^{2}\varpi (x)\right]+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[3x^{2}\left(\varpi (x)\right)^{2}\right]}{dx}}+{\text{etc}}.,\\&{\text{etc}}.\ldots \\&\mathrm {X} ^{n}=x^{n}+{\frac {h}{1}}\left[nx^{n-1}\varpi (x)\right]+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[nx^{n-1}\left(\varpi (x)\right)^{2}\right]}{dx}}+{\text{etc}}.,\end{aligned}}\right.$

$n$ étant un nombre entier quelconque ; puis, en supposant

$\varpi (x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+$etc.,

et ajoutant les équations (29) et (30) respectivement multipliées par $a_{0},\,a_{1},$ $a_{2},\ldots$ on trouvera

(31)

${\begin{aligned}\varpi (\mathrm {X} )&=\varpi (x)+{\frac {h}{1}}\varpi '(x)\varpi (x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[\varpi '(x)\left(\varpi (x)\right)^{2}\right]}{dx}}+{\text{etc}}.\\&=\varpi (x)+{\frac {h}{1.2}}{\frac {d[\varpi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {h^{2}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}\left[\varpi (x)\right]^{2}}{dx^{2}}}+{\text{etc}}.\\&-{\frac {1}{h}}(\mathrm {X} -x)\,;\end{aligned}}$