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et par suite $\mathrm {X}$ sera une racine de l’équation

(1)

$z-x-h\varpi (z)=0,$

puisqu’on aura

(32)

$\mathrm {X} -x-h\varpi (\mathrm {X} )=0.$

La valeur de $\mathrm {X}$ étant déterminée comme on vient de le dire, si l’on suppose maintenant

(33)

$f(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+{\text{etc}}.,$

on tirera des formules (29) et (30) respectivement multipliées par $b_{0},\,b_{1},\,b_{2},$ etc.

(34)

$f(\mathrm {X} )=f(x)+{\frac {h}{1}}f'(x)\varpi (x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[f'(x)\left(\varpi (x)\right)^{2}\right]}{dx}}+{\text{etc}}.$

§ IV.

Si l’on pose, dans l’équation (10), $f(z)=z,$ et si l’on admet que le reste $r_{n}$ déterminé par la formule (22) décroisse indéfiniment avec ${\frac {1}{n}},$ on aura

(35)

$\zeta =x+{\frac {h}{1}}\varpi (x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[\varpi (x)\right]^{2}}{dx}}+{\text{etc}}.$

Si l’on suppose en particulier

$\varpi (x)=x^{m},$

$m$ étant un nombre quelconque, l’équation (1) deviendra

(36)

$z-x-hz^{m}=0,$

et la formule (35) donnera