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(37)

$\zeta =x+{\frac {h}{1}}x^{m}+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {dx^{2m}}{dx}}+{\frac {h^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}x^{3m}}{dx^{2}}}+{\text{etc}}.$

$=x+{\frac {1}{1}}hx^{m}+{\frac {2m}{1.2}}h^{2}x^{2m-1}+{\frac {3m(3m-1)}{1.2.3}}h^{3}x^{3m-1}+{\text{etc}}.$

Or la série, comprise dans le second membre de l’équation (37), aura pour terme général

(38)

${\frac {nm(nm-1)\ldots (nm-n+2)}{1.2.3\ldots n}}h^{n}x^{nm-n+1},$

et, si l’on nomme $u_{n}$ ce terme général, on trouvera, pour de grandes valeurs de $n,$

(39)

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {1}{n+1}}{\frac {(nm+m)(nm+m-1)\ldots (nm+1)}{(nm-n+2)\ldots (nm-n+m)}}hx^{m-1},$

ou, à très-peu près,

(40)

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {m^{m}}{(m-1)^{m-1}}}hx^{m-1}.$

Il est aisé d’en conclure que, si $m$ est un nombre entier, la série, comprise dans le second membre de la formule (37), sera convergente toutes les fois que la valeur numérique du produit

${\frac {m^{m}}{(m-1)^{m-1}}}hx^{m-1}$

sera inférieure à l’unité. Alors la somme de la série sera très-certainement une racine réelle de l’équation trinome $z-x-hz^{m}=0.$