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$n={\frac {a}{x}},$

et la dépense de construction de toutes les écluses à établir sur cette portion de canal sera :

$n.\mathrm {\left(P'+P''+P'''\right)} ={\frac {a}{x}}\left[p'\operatorname {F} '(x)+p''\operatorname {F} ''(x)+p'''\operatorname {F} '''(x)\right],$

laquelle variera selon les valeurs de $x,$ parmi lesquelles celle donnée par l’équation

(II)

$\ldots d.\left\{{\frac {a}{x}}\left[p'\operatorname {F} '(x)+p''\operatorname {F} ''(x)+p'''\operatorname {F} '''(x)\right],\right\}=0,$

rendra évidemment la dépense $n.\mathrm {\left(P'+P''+P'''\right)}$ la moindre possible, condition que nous nous proposons de remplir.

(21) La profondeur du canal étant un des principaux éléments des quantités que nous avons à déterminer, nous remarquerons, avant d’aller plus loin, qu’il faut entendre ici, par l’expression profondeur du canal, non pas la verticale comprise entre l’arête de sa berge et son plafond, mais la hauteur d’eau qu’il contient, laquelle a pour limite le plus grand tirant d’eau des bateaux qui doivent y naviguer. L’élévation des berges au-dessus du niveau de l’eau est, en effet, une sorte de dimension accessoire que l’on peut augmenter ou diminuer suivant les localités, sans que les circonstances purement relatives à la navigation en soient autrement modifiées. Cette élévation arbitraire des berges au-dessus de la surface de l’eau du canal ne peut donc être introduite parmi les quantités dont les rapports nécessaires constituent la théorie mathématique des canaux navigables.