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d’où l’on tire

(XIX)

$\ldots \ldots \ldots x={\frac {\mathrm {3MN} }{\mathrm {M} {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}+2\mathrm {N} {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}}}$

.

Enfin, substituant aux quantités

$\mathrm {M,\,N} ,\,{\frac {d\mathrm {M} }{dx}},\,{\frac {d\mathrm {N} }{dx}}$

leurs valeurs, on parviendra, toutes réductions faites, à une équation du quatrième degré, d’où l’on tirera la valeur de $x.$

(47) Cette détermination devient beaucoup plus simple, en faisant abstraction de la dépense du radier.

Alors, en effet,

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=b\mathrm {L} \left(2(h+x)^{2}{\sqrt {\frac {\pi ''(h+x)}{k.6b}}}\right)\\\mathrm {N} &=\mathrm {L} .\left((h+x){\sqrt {{\frac {\pi ''}{k}}{\frac {(h+x)}{4}}}}\right)\,;\end{aligned}}$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}&3\mathrm {MN} =3b{\frac {\mathrm {L} ^{2}\pi ''}{k}}(h+x)^{4}{\sqrt {\frac {1}{6b}}}\\&{\frac {\mathrm {M} d\mathrm {N} }{dx}}={\frac {3b\mathrm {L} ^{2}}{2}}{\frac {\pi ''}{k}}(h+x)^{3}{\sqrt {\frac {1}{6b}}}\\&2\mathrm {N} {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}={\frac {10b\mathrm {L} ^{2}}{2}}{\frac {\pi ''}{k}}(h+x)^{3}{\sqrt {\frac {1}{6b}}},\end{aligned}}$

donc,

${\frac {3\mathrm {MN} }{{\frac {\mathrm {M} d\mathrm {N} }{dx}}+{\frac {2\mathrm {N} d\mathrm {M} }{dx}}}}=x=6.{\frac {(h+x)}{13}},$

donc enfin,

(XX)

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots x={\frac {6h}{7}}.$