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primitive du corps, on pourra, dans les équations (4), considérer $\mathrm {P_{1},P_{2}} ,$ etc., aussi bien que les forces données $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}} ,$ comme des fonctions de $x_{1},y_{1},z_{1}\,;$ et substituer pour $c,c',c'',$ leurs valeurs en fonctions de ces variables, qui se déduiront de l’équation de la surface. Si le corps renferme dans son intérieur un ou plusieurs espaces vides, les équations (4) subsisteront pour les surfaces qui les terminent, comme pour la surface extérieure du corps. Jointes aux équations (5), elles exprimeront toutes les conditions nécessaires et suffisantes à son équilibre.

(11) Les équations (3) peuvent être remplacées par d’autres qui leur sont équivalentes, mais dont l’usage sera quelquefois plus commode. En effet, considérons une portion quelconque du corps ; soit $dm$ l’élément différentiel de la masse, en sorte qu’on ait $dm=\rho dx\,dy\,dz,$ $\rho$ étant toujours la densité ; multiplions la première équation (3) par $dx\,dy\,dz,$ puis intégrons ses deux membres, et étendons les intégrales à toute cette portion du corps ; nous aurons

$\int \mathrm {X} dm=\iiint \left({\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dz}}+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{dx}}\right)\rho dx\,dy\,dz.$

Pour fixer les idées, supposons que le plan des $x,y,$ soit horizontal, et l’axe des $z$ vertical et dirigé de bas en haut. On aura

$\iiint {\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dz}}\rho dx\,dy\,dz=\iint (\mathrm {P} _{1}\rho )dx\,dy-\iint [\mathrm {P} _{1}\rho ]dx\,dy\,;$

$(\mathrm {P} _{1}\rho )$ et $[\mathrm {P} _{1}\rho ]$ étant les valeurs de $\mathrm {P} _{1}\rho$ relatives aux deux points de la surface qui ont la même projection horizontale, savoir : $(\mathrm {P} _{1}\rho )$ au point supérieur, et $[\mathrm {P} _{1}\rho ]$ au point in-