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pression normale, égale en tous les points, et variable avec le temps ; je représenterai cette force, rapportée à l’unité de surface et dirigée de dehors en dedans, par $\mathrm {N} e^{-ht},$ $e$ étant la base des logarithmes népériens, $\mathrm {N}$ et $h$ deux constantes positives. Ses trois composantes qui entrent dans les équations (4) du n^o 10, seront

$\mathrm {X} _{1}=-{\frac {x}{r}}\mathrm {N} e^{-ht},\qquad \mathrm {Y} _{1}=-{\frac {y}{r}}\mathrm {N} e^{-ht},\qquad \mathrm {Z} _{1}=-{\frac {z}{r}}\mathrm {N} e^{-ht},$

à cause que le rayon de la sphère est la normale à sa surface ; et pour la même raison, on y fera

$c={\frac {x}{r}},\qquad c'={\frac {y}{r}},\qquad c''={\frac {z}{r}}.$

En substituant les valeurs de $u,v,w,$ dans les expressions de $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,$ du n^o 7, on aura, en outre,

$\mathrm {P} _{1}=-2k{\frac {d^{2}\varphi }{dxdz}},\quad \mathrm {P} _{2}=-2k{\frac {d^{2}\varphi }{dxdy}},\quad \mathrm {P} _{3}=-k\left(3{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right).$

La première équation (4) deviendra donc

${\frac {x}{r}}\mathrm {N} e^{-ht}+2k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}{\frac {x}{r}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dxdy}}{\frac {y}{r}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dxdz}}{\frac {z}{r}}\right)$

$+k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right){\frac {x}{r}}=0\,;$

mais à cause que $\varphi$ est une fonction de $r$ et $t,$ on a

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}={\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}},\\&{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {x}{r}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {y}{r}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {z}{r}}={\frac {d\varphi }{dr}}\,;\end{aligned}}$

en différentiant cette dernière formule par rapport à $x,$ et