pression normale, égale en tous les points, et variable avec le temps ; je représenterai cette force, rapportée à l’unité de surface et dirigée de dehors en dedans, par
étant la base des logarithmes népériens,
et
deux constantes positives. Ses trois composantes qui entrent dans les équations (4) du no 10, seront
![{\displaystyle \mathrm {X} _{1}=-{\frac {x}{r}}\mathrm {N} e^{-ht},\qquad \mathrm {Y} _{1}=-{\frac {y}{r}}\mathrm {N} e^{-ht},\qquad \mathrm {Z} _{1}=-{\frac {z}{r}}\mathrm {N} e^{-ht},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f8c6d14a0f62f000878121efafda5f415d7fcf)
à cause que le rayon de la sphère est la normale à sa surface ; et pour la même raison, on y fera
![{\displaystyle c={\frac {x}{r}},\qquad c'={\frac {y}{r}},\qquad c''={\frac {z}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94910a2c8ef06bc8ff8b20ad23c3ff6ff72d8287)
En substituant les valeurs de
dans les expressions de
du no 7, on aura, en outre,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{1}=-2k{\frac {d^{2}\varphi }{dxdz}},\quad \mathrm {P} _{2}=-2k{\frac {d^{2}\varphi }{dxdy}},\quad \mathrm {P} _{3}=-k\left(3{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d9ab903ff745c528aa19e6c428f19e34900d61)
La première équation (4) deviendra donc
![{\displaystyle {\frac {x}{r}}\mathrm {N} e^{-ht}+2k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}{\frac {x}{r}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dxdy}}{\frac {y}{r}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dxdz}}{\frac {z}{r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e890d8b1b2d8a134890addaf62eed1542a7a72d4)
![{\displaystyle +k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right){\frac {x}{r}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f848fb7c618c88b20481306d0d7fe9eac99a9d)
mais à cause que
est une fonction de
et
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}={\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}},\\&{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {x}{r}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {y}{r}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {z}{r}}={\frac {d\varphi }{dr}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518b0d40fa82f974c87916929e164ced7480aaa6)
en différentiant cette dernière formule par rapport à
et