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réduisant, on en conclut

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}{\frac {x}{r}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dxdy}}{\frac {y}{r}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dxdz}}{\frac {z}{r}}={\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}{\frac {x}{r}}\,;$

nous aurons, par conséquent,

$\mathrm {N} e^{-ht}+3k{\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}+{\frac {2k}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}}=0.\qquad$(3)

On parvient au même résultat en ayant égard aux deux autres équations (4) ; ainsi, dans l’exemple qui nous occupe, les trois équations relatives à la surface se réduisent à une seule qui n’aura lieu que pour $r=l,$ en désignant par $l$ le rayon de la sphère.

En y mettant pour $\varphi$ sa valeur, elle devient :

${\frac {k}{l^{3}}}\sum (\mathrm {A} \cos .\mu \,at+\mathrm {B} \sin .\mu \,at)\left[\left(4-3\mu ^{2}l^{2}\right)\sin .\mu \,l-4\mu \,l\cos .\mu \,l\right]=-\mathrm {N} e^{-ht}.$

Si l’on fait d’abord abstraction de son second membre, il faudra, pour y satisfaire quelque soit $t,$ égaler à zéro le facteur compris entre les crochets ; ce qui donne cette équation :

$\left(4-3\mu ^{2}l^{2}\right)\sin .\mu \,l-4\mu \,l\cos .\mu \,l=0,\qquad$(4)

qui servira à déterminer les valeurs de $\mu .$ Pour tenir compte du second membre, je prends

$\mu ={\frac {h{\sqrt {-1}}}{a}}\,;$

je fais ensuite, pour abréger,

${\frac {k}{a^{2}l^{3}}}\left\{\left(4a^{2}+3h^{2}l^{2}\right)\left(e^{\frac {hl}{a}}-e^{-{\frac {hl}{a}}}\right)-4ahl\left(e^{\frac {hl}{a}}+e^{-{\frac {hl}{a}}}\right)\right\}=\lambda \,;$