Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/667

La formule (5) se compose de deux parties qui satisfont séparément à l’équation (1). Si l’on représente par $\varphi '$ la partie de ${\frac {d\varphi }{dr}}$ indépendante de la force extérieure, que l’on divise dr l’équation (1) par $r,$ et qu’on la différentie ensuite par rapport à cette variable, on aura

${\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\varphi '}{dr}}-{\frac {2}{r^{2}}}\varphi '\right)\,;$

et d’après l’équation (3), on aura, en même temps,

$3{\frac {d\varphi '}{dr}}+{\frac {2}{r}}\varphi '=0,$

pour $r=l.$ Si nous faisons $r\varphi '=\psi ,$ l’équation précédente deviendra

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}\psi \right),$

la valeur de $\psi ,$ conclue de la formule (5), sera

$\psi =\sum (\mathrm {A} \cos .\mu \,at+\mathrm {B} \sin .\mu \,at)\mathrm {R} ,\qquad$(7)

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {R} =(\mu \,r\cos .\mu \,r\cos .\mu \,r-\sin .\mu \,r){\frac {1}{r}}\,;$

cette quantité $\mathrm {R}$ satisfera à l’équation

$\left(\mu ^{2}-{\frac {2}{r^{2}}}\right)\mathrm {R} +{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}=0\,;\qquad$(8)

pour $r=0,$ on aura $\psi =0$ et $\mathrm {R} =0\,;$ et pour $r=l,$ à cause de $3{\frac {d\varphi '}{dr}}+{\frac {2}{r}}\varphi '=0,$ on aura aussi

$3{\frac {d\psi }{dr}}-{\frac {1}{r}}\psi =0,\qquad 3{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}-{\frac {1}{r}}\mathrm {R} =0,\qquad$(9)