Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/668

ce qui est d’ailleurs facile à vérifier en ayant égard à l’équation (4).

Cela posé, je multiplie l’équation (6) par $\mathrm {R} dr,$ puis j’intègre les deux membres depuis $r=0$ jusqu’à $r=l,$ ce qui donne

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\psi \mathrm {R} dr}{dt^{2}}}=a^{2}\left(\int _{0}^{l}{\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}\mathrm {R} dr-2\int _{0}^{l}{\frac {\psi \mathrm {R} }{r^{2}}}dr\right).\qquad$(10)

En intégrant par partie, et observant que $\mathrm {R}$ et $\psi$ s’évanouissent à la limite $r=0,$ on a

$\int _{0}^{l}{\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}\mathrm {R} dr=-{\frac {d\psi }{dr}}\mathrm {R} -\psi {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\int _{0}^{l}\psi {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}dr.$

Les termes compris hors du signe $\sum$ se rapportent à la seconde limite $r=l,$ pour laquelle on a

${\frac {d\psi }{dr}}\mathrm {R} -\psi {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}=0,$

en vertu des équations (9). Mettant, en outre, sous le signe $\sum ,$ à la place de ${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}$ sa valeur tirée de l’équation (8), on aura

$\int _{0}^{l}{\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}\mathrm {R} dr=-\mu ^{2}\int _{0}^{l}\psi \mathrm {R} dr+2\int _{0}^{l}{\frac {\psi \mathrm {R} }{r^{2}}}dr\,;$

au moyen de quoi l’équation (10) se changera en celle-ci :

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\psi \mathrm {R} dr}{dr^{2}}}+a^{2}\mu ^{2}\int _{0}^{l}\psi \mathrm {R} dr=0,$

c’est-à-dire, en une équation différentielle du second ordre, dont l’intégrale complète est

$\int _{0}^{l}\psi \mathrm {R} dr=\mathrm {D} \cos .\mu \,at+\mathrm {D} '\sin .\mu \,at,\qquad$(11)

$\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} '$ désignant les deux constantes arbitraires.