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Rendons maintenant cette longueur infiniment petite et égale à $ds,$ ce qui réduira l’intégrale $\int \mathrm {X} dm$ à un seul élément, et cette équation à

$\mathrm {X} dm=d.\mathrm {P} _{1}\omega {\frac {dz}{ds}}+d.\mathrm {P} _{2}\omega {\frac {dy}{ds}}+d.\mathrm {P} _{3}\omega {\frac {dx}{ds}}.$

On trouvera de même ce que deviennent, dans cette hypothèse, les deux autres formules (5). Si l’on appelle $\rho$ la densité de la matière de la corde au point $\mathrm {M} ,$ l’élément de sa masse sera

$dm=\rho \omega \,ds\,;$

et les trois équations (5) seront remplacées par celles-ci :

$\left.{\begin{alignedat}{3}\mathrm {X} \rho \omega &={\frac {d.\mathrm {P} _{1}\omega {\frac {dz}{ds}}}{ds}}&&+{\frac {d.\mathrm {P} _{2}\omega {\frac {dy}{ds}}}{ds}}&&+{\frac {d.\mathrm {P} _{3}\omega {\frac {dx}{ds}}}{ds}},\\\mathrm {Y} \rho \omega &={\frac {d.\mathrm {Q} _{1}\omega {\frac {dz}{ds}}}{ds}}&&+{\frac {d.\mathrm {Q} _{2}\omega {\frac {dy}{ds}}}{ds}}&&+{\frac {d.\mathrm {Q} _{3}\omega {\frac {dx}{ds}}}{ds}},\\\mathrm {Z} \rho \omega &={\frac {d.\mathrm {R} _{1}\omega {\frac {dz}{ds}}}{ds}}&&+{\frac {d.\mathrm {R} _{2}\omega {\frac {dy}{ds}}}{ds}}&&+{\frac {d.\mathrm {R} _{3}\omega {\frac {dx}{ds}}}{ds}}.\end{alignedat}}\right\}\quad$(1)

Les forces $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}} ,$ ayant été supposées nulles, les équations (4) du n^o 10 se réduiront à

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} _{1}c''&+\mathrm {P} _{2}c'&&+\mathrm {P} _{3}c&&=0,\\\mathrm {Q} _{1}c''&+\mathrm {Q} _{2}c'&&+\mathrm {Q} _{3}c&&=0,\\\mathrm {R} _{1}c''&+\mathrm {R} _{2}c'&&+\mathrm {R} _{3}c&&=0.\end{alignedat}}$

Les trois cosinus $c,c',c'',$ qu’elles contiennent appartiennent à une normale quelconque de la corde, menée par le point $\mathrm {M} \,;$ on a donc l’équation de condition :