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ces résultats :

$\left.{\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} _{1}{\frac {dz}{ds}}&+\mathrm {P} _{2}{\frac {dy}{ds}}&&+\mathrm {P} _{3}{\frac {dx}{ds}}&&=\mathrm {T} {\frac {dx}{ds}},\\\mathrm {Q} _{1}{\frac {dz}{ds}}&+\mathrm {Q} _{2}{\frac {dy}{ds}}&&+\mathrm {Q} _{3}{\frac {dx}{ds}}&&=\mathrm {T} {\frac {dy}{ds}},\\\mathrm {R} _{1}{\frac {dz}{ds}}&+\mathrm {R} _{2}{\frac {dy}{ds}}&&+\mathrm {R} _{3}{\frac {dx}{ds}}&&=\mathrm {T} {\frac {dz}{ds}},\\\end{alignedat}}\right\}\quad$(2)

ce qui change les équations (1) en celles-ci :

$\mathrm {X} \rho \omega ={\frac {d.\mathrm {T} \omega {\frac {dx}{ds}}}{ds}},\quad \mathrm {Y} \rho \omega ={\frac {d.\mathrm {T} \omega {\frac {dy}{ds}}}{ds}},\quad \mathrm {Z} \rho \omega ={\frac {d.\mathrm {T} \omega {\frac {dz}{ds}}}{ds}},\quad$(3)

entre lesquelles il ne restera plus qu’à éliminer $\mathrm {T}$ pour avoir les deux équations de la courbe formée par la corde en équilibre.

(24) Ces dernières formules sont, en effet, les équations connues de l’équilibre d’un fil parfaitement flexible, dont tous les points sont sollicités par des forces données $\mathrm {X,Y,Z} ,$ parallèles aux axes des $x,y,z,$ et données en fonctions de ces trois variables. Les déplacements relatifs des points de la corde, produits par ces forces, sont supposés très-petits ; les changements qui peuvent en résulter dans les valeurs de $\rho$ et $\omega$ le seront donc également ; on pourra en conséquence employer ces valeurs telles qu’elles ont lieu dans l’état naturel de la corde, et regarder $\rho$ et $\omega$ comme des fonctions de $s$ aussi données. Si la corde est homogène, $\rho$ sera une constante, et il en sera de même à l’égard de $\omega$ lorsque la corde aura partout la même épaisseur.

En multipliant les équations (3) par $dx,dy,dz,$ les ajoutant ensuite, et observant que