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${\frac {dx}{ds}}d.{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dy}{ds}}d.{\frac {dy}{ds}}+{\frac {dz}{ds}}d.{\frac {dz}{ds}}=0,$

nous aurons

$(\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)\rho \omega =d.\mathrm {T} \omega .$

Ces équations donnent aussi

${\begin{aligned}\left(\mathrm {X} d.{\frac {dy}{ds}}-\mathrm {Y} d.{\frac {dx}{ds}}\right)\rho \omega &=\left({\frac {dx}{ds}}d.{\frac {dy}{ds}}-{\frac {dy}{ds}}d.{\frac {dx}{ds}}\right){\frac {d.\mathrm {T} \omega }{ds}},\\\left(\mathrm {X} d.{\frac {dz}{ds}}-\mathrm {Z} d.{\frac {dx}{ds}}\right)\rho \omega &=\left({\frac {dx}{ds}}d.{\frac {dz}{ds}}-{\frac {dz}{ds}}d.{\frac {dx}{ds}}\right){\frac {d.\mathrm {T} \omega }{ds}}\,;\end{aligned}}$

et en substituant dans celles-ci, à la place de $d.\mathrm {T} \omega ,$ sa valeur précédente, on aura les deux équations différentielles secondes de la courbe formée par la corde en équilibre. L’équation précédente fera connaître la valeur de $\mathrm {T} .$ Si les quantités $\rho$ et $\omega$ sont constantes, et que la formule $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ soit la différentielle d’une fonction donnée des $x,y,z,$ on aura

$\mathrm {T} =\rho f(x,y,z)+c,$

en désignant par $f(x,y,z)$ cette fonction, et par $c$ une constante arbitraire. Les intégrales complètes de ces trois équations comporteront cinq constantes arbitraires, que l’on déterminera d’après les diverses conditions relatives aux points extrêmes de la corde.

(25) En vertu des formules (2) du n^o 7, les premiers membres des équations (2) que nous venons de former sont les composantes parallèles aux axes des $x,y,z,$ de l’action moléculaire exercée par une portion de la corde sur la portion contiguë, leur surface de séparation étant normale à la corde ; d’après ces équations, leur résultante sera donc égale à $\mathrm {T} ,$