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${\begin{aligned}\int _{0}^{\varepsilon }\left({\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\eta }}\right)rdr&=\int _{0}^{\varepsilon }{\frac {(\mathrm {Q} _{1}\sin .\theta +\mathrm {Q} _{2}\cos .\theta )}{dr}}rdr\\&+\int _{0}^{\varepsilon }\left({\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\theta }}\cos .\theta -{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\theta }}\sin .\theta \right)dr.\end{aligned}}$

L’intégration par partie donne

${\begin{aligned}\int _{0}^{\varepsilon }{\frac {(\mathrm {Q} _{1}\sin .\theta +\mathrm {Q} _{2}\cos .\theta )}{dr}}rdr&=(\mathrm {Q} _{1}\sin .\theta +\mathrm {Q} _{2}\cos .\theta )\varepsilon \\&-\int _{0}^{\varepsilon }(\mathrm {Q} _{1}\sin .\theta +\mathrm {Q} _{2}\cos .\theta )dr\,;\end{aligned}}$

et comme la seconde équation (3) fait disparaître les termes compris en dehors du signe $\int$ et qui répondent à $r=\varepsilon ,$ il en résulte que l’équation précédente deviendra

$\int _{0}^{\varepsilon }\left({\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\eta }}\right)rdr=\int _{0}^{\varepsilon }{\frac {(\mathrm {Q} _{1}\cos .\theta -\mathrm {Q} _{2}\sin .\theta )}{d\theta }}dr.$

Je multiplie les deux membres de cette équation par $d\theta ,$ j’intègre depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =2\pi ,$ et en observant que par leur nature les quantités $\mathrm {Q} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{2}$ ont la même valeur à ces deux limites, on aura

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }\left({\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\eta }}\right)rdr\,d\theta =0.$

On trouvera de même

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }\left({\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\zeta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\eta }}\right)rdr\,d\theta =0\,;$

on aura donc, d’après les deux dernières équations (2) :