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ment, et alors nous aurons

$u'=-{\frac {dy}{dx}}\eta -{\frac {dz}{dx}}\zeta ,\qquad v'=y,\qquad w'=z.$

Il résulte de cette valeur de $u'$ que chaque droite, telle que $\mathrm {MM} ',$ qui était perpendiculaire à l’axe de la verge dans son état naturel, est encore normale à cette ligne devenue courbe après le changement de forme. On en déduit

${\frac {du'}{dx}}=-{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\eta -{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\zeta ,$

pour la dilatation longitudinale qui aura lieu au point $\mathrm {M} ',$ et sera proportionnelle à son rayon $r,$ comme les valeurs correspondantes de $\varphi$ et $\psi .$ Dans chaque section de la verge passant par son axe, par exemple, dans le plan des $x,y,$ ou des $x,z,$ cette dilatation sera en raison inverse du rayon de courbure ; elle changera de signe avec la distance à l’axe : d’un côté de cette droite, les fibres de la verge seront allongées ; de l’autre côté, elles seront raccourcies semblablement ; et c’est cet état différent des deux côtés de la verge qui produit son élasticité par flexion, ou sa tendance à reprendre la direction rectiligne.

(43) Quand la courbe formée par l’axe aura été déterminée, c’est-à-dire, quand $y$ et $z$ seront déterminées en fonctions de $x,$ non-seulement les dilatations de la verge en tous sens seront aussi connues, mais encore l’action moléculaire exercée par une partie sur la partie contiguë. Supposons que la surface de séparation de ces deux parties soit la section normale à l’axe, faite par le point $\mathrm {M} '\,;$ relativement à ce point, désignons par $\mathrm {T,U,V} ,$ les composantes de l’action moléculaire, respectivement parallèles aux axes des $x,y,z,$ et rapportées