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à l’unité de surface : d’après le n^o 7, ces composantes ne sont autre chose que les trois forces $\mathrm {P_{3},Q_{3},R_{3}} \,;$ en les développant suivant les puissances de $\eta$ et $\zeta ,$ faisant $\eta =0$ et $\zeta =0$ dans les coefficients, et observant que $\mathrm {Q_{3}=P_{2}}$ et $\mathrm {R_{3}=P_{1}} ,$ nous aurons donc

${\begin{aligned}\mathrm {T} &=\mathrm {P} _{3}+{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\eta }}\eta +{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\zeta }}\zeta +{\text{etc}}.,\\\mathrm {U} &=\mathrm {P} _{2}+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\eta }}\eta +{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\zeta }}\zeta +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}\eta ^{2}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}\eta \zeta +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}\zeta ^{2}+{\text{etc}}.,\\\mathrm {V} &=\mathrm {P} _{1}+{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\eta }}\eta +{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}\zeta +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}\eta ^{2}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}\eta \zeta +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\zeta ^{2}+{\text{etc}}.,\end{aligned}}$

Si l’on néglige dans la valeur de $\mathrm {T} ,$ les carrés et le produit de $\eta$ et $\zeta ,$ on aura, d’après les résultats du n^o 41,

$\mathrm {T} ={\frac {5k}{2}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\eta +{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\zeta \right).$

La résultante des forces $\mathrm {T}$ dans toute l’étendue de la section normale de la verge, sera égale à zéro ; mais les sommes de leurs moments ne seront pas nulles. Si l’on appelle $\mu$ et $\mu '$ les sommes de ces moments, pris par rapport à deux axes parallèles à ceux des $z$ et des $y,$ et menés par le point $\mathrm {M}$ qui appartient à l’axe des $x,$ on aura

$\mu =\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }T\eta rdr\,d\theta ,\qquad \mu '=\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }T\zeta rdr\,d\theta \,;$

et si l’on désigne par $\omega$ l’aire de la section de la verge, laquelle est égale à $\pi \varepsilon ^{2},$ et qu’on effectue les intégrations, après avoir mis pour $\mathrm {T} ,\eta ,\zeta ,$ leurs valeurs, il vient

$\mu ={\frac {5k\omega \varepsilon ^{2}}{8}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad \mu '={\frac {5k\omega \varepsilon ^{2}}{8}}{\frac {d^{2}rzy}{dx^{2}}}.$