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résultera ces deux équations :

${\frac {dy}{dx}}=0,\qquad {\frac {dz}{dx}}=0.$

Enfin s’il s’agit d’une extrémité de la verge, assujétie à la fois de ces deux manières, auquel cas on dit que la verge est encastrée, aucune des quatre équations d’équilibre ne subsistera, et on aura à leur place ces quatre équations :

$y=0,\qquad z=0,\qquad {\frac {dy}{dx}}=0,\qquad {\frac {dz}{dx}}=0.$

Dans tous les cas qui pourront se présenter, on aura en tout huit équations relatives aux valeurs particulières $x=0,$ $x=l,$ qui serviront à déterminer les huit constantes arbitraires que renfermeront, dans le cas de l’équilibre de la verge, les intégrales des équations (12) communes à tous ses points.

(45) Avant d’aller plus loin, il sera bon de faire voir comment on déduit des formules (12), (14) et (15), les équations d’équilibre de la verge, relatives aux sommes des composantes et aux sommes des moments des forces données qui agissent sur tous ses points, y compris les deux extrémités.

Les équations (12) peuvent s’écrire ainsi :

$\left.{\begin{aligned}\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Y} '\rho \,rdr\,d\theta =&{\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left(5k{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}-2\rho {\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\eta }}\right),\\\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Z} '\rho \,rdr\,d\theta =&{\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left(5k{\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}-2\rho {\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\zeta }}\right).\end{aligned}}\right\}$(16)

Je les multiplie par $dx,$ puis j’intègre depuis $x=0$ jusqu’à $x=l\,;$ et en ayant égard aux deux premières équations (14) et (15) qui répondent à ces limites, il vient