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Ces deux inconnues sont séparées dans les équations (13), (14) et (15); elles se détermineront indépendamment l’une de l’autre, et toutes deux par les mêmes calculs ; par conséquent il suffira de nous occuper de l’une d’elles, de $y$ par exemple. Nous aurons alors, pour tous les points de la verge, l’équation :

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+b^{2}{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=0,\qquad$(a)

dans laquelle $b$ est une constante égale à ${\frac {\varepsilon }{2}}{\sqrt {\frac {5k}{2\rho }}}.$

Relativement aux extrémités, les cas les plus ordinaires seront celui où la verge est libre à ses deux bouts, et celui où elle est encastrée par une extrémité et libre à l’autre bout. Nous nous bornerons à considérer ces deux cas ; l’analyse suivante s’appliquerait sans difficultés à tous les autres. Dans le cas de la verge entièrement libre, nous aurons

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=0,\qquad$(b)

pour $x=0$ et $x=l\,;$ dans le cas de la verge encastrée à l’extrémité qui répond à $x=0$ et libre à l’autre bout, ces deux équations n’auront lieu que pour $x=l,$ et l’on aura en même temps

$y=0,\qquad {\frac {dy}{dx}}=0,\qquad$(c)

pour $x=0.$ Ces équations particulières serviront à déterminer une partie des quantités arbitraires qui seront contenues dans l’intégrale de l’équation (a); les valeurs des autres se concluront de l’état initial de la verge ; à cet effet, nous compterons le temps $t$ à partir de l’origine du mouvement, et nous