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$-m,m{\sqrt {-1}},-m{\sqrt {-1}}\,;$ de plus les valeurs correspondantes de $\mathrm {X}$ ne feront que changer de signe ou acquérir le facteur ${\sqrt {-1}}\,;$ d’où il résulte qu’on pourra dans la formule $(f),$ réunir en un seul les termes de la somme $\sum$ qui répondent à ces quatre racines, et n’étendre ensuite cette somme qu’à des valeurs positives de $m,$ ou à des valeurs en partie réelle et en partie imaginaire, s’il en existait, dont la partie réelle serait positive. De cette manière, $m$ et $m'$ étant deux racines dont on fera usage, $m'$ et $m'^{2}$ différeront de $\pm m$ et $\pm m^{2}.$

Cela étant convenu, je multiplie l’équation $(a)$ par $\mathrm {X} dx,$ puis j’intègre depuis $x=0$ jusqu’à $x=l,$ ce qui donne :

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\mathrm {X} ydx}{dt^{2}}}+b^{2}\int _{0}^{l}\mathrm {X} {\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}dx=0.$

En intégrant par partie, on aura

$\int _{0}^{l}\mathrm {X} {\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}dx=\left(\mathrm {X} {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}y\right)$

$-\left[\mathrm {X} {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}y\right]+\int _{0}^{l}{\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}}ydx.$

Les termes compris entre parenthèses répondent à $x=l,$ et ceux qui sont renfermés entre des crochets, à $x=0\,;$ ils se détruisent en vertu des équations $(b),(c),(g),(k),$ relatives à ces limites ; et si l’on met sous le signe $\int ,$ $m^{4}\mathrm {X}$ à la place de ${\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}},$ qui lui est égal pour toutes les valeurs de $x,$ d’après l’équation $(h),$ il en résultera

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\mathrm {X} ydx}{dt^{2}}}+b^{2}m^{2}\int _{0}^{l}\mathrm {X} ydx=0.$