Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/738

équation $(l)$ :

$\mathrm {E} \int _{0}^{l}\mathrm {X} ^{2}dx={\frac {1}{bm^{2}}}\int _{0}^{l}\mathrm {X} \operatorname {F} x\,dx,\qquad \mathrm {E} '\int _{0}^{l}\mathrm {X} ^{2}dx=\int _{0}^{l}\mathrm {X} fx\,dx\,;$

ce qui fera connaître les valeurs de $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} ',$ au moyen desquelles la formule $(f)$ deviendra :

$y=\sum \mathrm {X} \left[{\frac {\int _{0}^{l}\mathrm {X} fx\,dx}{\int _{0}^{l}\mathrm {X} ^{2}dx}}\cos .m^{2}bt+{\frac {\int _{0}^{l}\mathrm {X} \operatorname {F} x\,dx}{m^{2}b\int _{0}^{l}\mathrm {X} ^{2}dx}}\sin .m^{2}bt\right].\quad (n)$

Cette expression de $y$ et la valeur de ${\frac {dy}{dt}}$ renfermant plus rien d’inconnu, le déplacement et la vitesse à un instant quelconque, de tel point qu’on voudra de l’axe de la verge, seront maintenant connus, ce qui renferme la solution complète du problème que nous nous proposions de résoudre.

Si l’on y fait $t=0,$ il en résultera

$fx=\sum \mathrm {X} {\frac {\int _{0}^{l}\mathrm {X} fx\,dx}{\int _{0}^{l}\mathrm {X} ^{2}dx}},\qquad \operatorname {F} x=\sum \mathrm {X} {\frac {\int _{0}^{l}\mathrm {X} \operatorname {F} x\,dx}{\int _{0}^{l}\mathrm {X} ^{2}dx}}.$

Ces deux formules, dont l’une est la même que l’autre, auront lieu pour des fonctions quelconques $fx$ et $\operatorname {F} x,$ continues ou discontinues, mais seulement depuis $x=0$ jusqu’à $x=l,$ et en observant qu’elles ne conviendront aux valeurs extrêmes de $x$ que quand ces fonctions arbitraires rempliront la condition indiquée à la fin du n^o 46. L’intégrale $\int _{0}^{l}\mathrm {X} ^{2}dx$ qu’elles renferment, s’obtiendra sans forme finie, après qu’on y aura mis pour $\mathrm {X} ,$ l’une ou l’autre des expressions du numéro précédent.