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$f$ indiquant une fonction arbitraire ; et l’on peut voir dans un des mes précédents Mémoires^[1] que c’est à cette formule que se réduit son intégrale complète, quand l’inconnue $\varphi ,$ comme dans la question actuelle, ne doit pas devenir infinie pour $r=0.$ Nous ferons donc usage de cette expression de $\varphi ,$ en la mettant toutefois sous une forme plus commode pour la solution du problème qui nous occupe.

Sans restreindre la généralité de la fonction $f,$ on peut supposer qu’on ait

$f(at)=\sum (\mathrm {A} \cos .m\,at+\mathrm {B} \sin .m\,at),$

$m,\mathrm {A,B} ,$ étant des quantités indépendantes de la variable $at,$ et la somme $\sum$ s’étendant à toutes leurs valeurs possibles, réelles ou imaginaires. En observant que

$\int _{0}^{\pi }\sin .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega =0,$

l’expression de $\varphi$ prendra la forme :

$\varphi =r\sum \left[(\mathrm {A} \cos .m\,at+\mathrm {B} \sin .m\,at)\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega \right].{\text{(11)}}$

Dans le cas du contour fixe, la condition $\varphi =0$ pour $r=l,$ devant se vérifier quel que soit $t,$ on en conclura

$\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega =0.\qquad$(12)

Dans le cas du contour libre, on conclura de la deuxième

1. Journal de l’École polytechnique, 19^e cahier, page 239.