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équation (10) :

${\frac {5}{4}}\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega -ml\int _{0}^{\pi }\sin .(ml\cos .\omega )\sin .^{2}\omega \cos .\omega \,d\omega =0\,;$

équation que l’on changera facilement en celle-ci :

$\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )\left({\frac {1}{4}}\sin .^{2}\omega +\cos .^{2}\omega \right)d\omega =0,\qquad$(13)

par le procédé de l’intégration par partie. Chacune de ces équations (12) et (13) servira, pour le cas auquel elle se rapporte, à déterminer les valeurs de $m\,;$ et il ne restera qu’à trouver d’après l’état initial de la membrane ou de la plaque, celles des coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ en fonctions de $m.$ La somme de la formule (11) s’étendra à toutes les valeurs de $m$ tirées de ces équations ; mais leurs racines étant deux à deux égales et de signes contraires, on pourra supposer les deux termes qui répondent à chaque couple de racines, réunis en un seul terme, et n’étendre la somme $\sum$ qu’à des valeurs de $m$ dont les carrés sont différents.

(57) La méthode que nous employons à la détermination des coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ exige que l’on fasse d’abord disparaître la différentielle première relative à $r,$ que contient l’équation (9). Soit donc $\varphi =r^{-{\frac {1}{2}}}\varphi '\,;$ cette équation deviendra

${\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}=a^{2}\left({\frac {d\varphi '}{dr}}-{\frac {3\varphi '}{4r^{2}}}\right).\qquad$(14)

La valeur de $\varphi '$ sera

$\varphi '=\sum (\mathrm {A} \cos .m\,at+\mathrm {B} \sin .m\,at)\mathrm {R} ,$