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duira les équations (3) à

$\alpha =0,\qquad \beta =1,\qquad \gamma =q,\qquad \alpha '=1,\qquad \beta '=0,\qquad \gamma '=p.$

En substituant ces valeurs et celles de $\mathrm {P_{1},Q_{1},R_{1}} ,$ qui sont données par les formules (1), dans les équations (2), on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{\rho }&+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{3}}{dx}}=0,\\\mathrm {Y} _{\rho }&+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dx}}=0,\\\mathrm {Z} _{\rho }&+{\frac {d(q\mathrm {Q} _{2}+p\mathrm {P} _{2})}{dy}}+{\frac {d(q\mathrm {P} _{2}+p\mathrm {P} _{3})}{dx}}=0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

$(\mathrm {Z} -\mathrm {X} p-\mathrm {Y} q)\rho +\mathrm {Q} _{2}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}+2\mathrm {P} _{2}{\frac {d^{2}z}{dxdy}}+\mathrm {P} _{3}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=0.$

Les quantités $\mathrm {P_{2},P_{3},Q_{2}} ,$ ne dépendront que de $u$ et $v,$ et leurs valeurs seront les mêmes que dans le n^o 53 : celles de $u$ et $v$ en fonctions de $x$ et $y$ se détermineront par les équations de ce numéro ; et cela fait, l’équation précédente sera celle de la surface flexible en équilibre, lorsqu’elle est sollicitée par des forces données $\mathrm {X,Y,Z} ,$ qui l’écartent très-peu d’un plan, ce qui suppose très-petite la force normale $\mathrm {Z} .$

Dans le cas du mouvement, et en supposant qu’aucune force donnée n’agît sur cette membrane, on fera

$\mathrm {X} =-{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Y} =-{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Z} =-{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Si l’on suppose, en outre, que la membrane a d’abord été tendue comme dans le n^o 55, par une force $\mathrm {C} ,$ normale à son contour, et d’une grandeur constante ; que l’on a ensuite