Plaçons l’origine des coordonnées à l’un de ses angles, prenons les directions des deux côtés adjacents pour axes des
et des
et représentons leurs longueurs par
et
de sorte que le contour de la membrane réponde à
et
et à
et
La condition
pour
et
devant se vérifier pour toutes les valeurs de
et
il faudra que chaque terme de la formule
y satisfasse séparément, ce qui exige qu’on ait
![{\displaystyle h=0,\qquad m={\frac {n\pi }{l}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baaa769a262937c33718e858a37a491237e8ed78)
étant un nombre entier quelconque. La même condition relative à
et
donnera
![{\displaystyle h'=0,\qquad m'={\frac {n'\pi }{l'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4962c32c08d8036a00d8992a5893b63304618f)
étant aussi un nombre entier quelconque. En faisant donc, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\pi c}{ll'}}{\sqrt {n^{2}l'^{2}+n'^{2}l^{2}}}=\gamma ,\qquad \sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n'\pi y}{l'}}=\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e704b1486e4d7cb5183f5dcd1ba66af31a039b17)
la formule
deviendra
![{\displaystyle z=\sum \mathrm {U} (\mathrm {H} \sin .\gamma t+\mathrm {H} '\cos .\gamma t).\qquad (c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9136e9e449f485633895e9c1d3ccf26e2d37f60a)
On pourra convenir de réunir les termes qui ne different que par le signe de
ou de
et de n’étendre ensuite la somme
qu’à des nombres entiers et positifs, ou zéro, depuis
et
jusqu’à
et ![{\displaystyle n'=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1455eb67a67912f1df10c890ecda960fa06859d9)
Pour déterminer, d’après l’état initial de la membrane, les coefficients
et
en fonctions de
et
je désigne par
ce que devient
quand on y remplace
et
par deux