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autres nombres entiers $i$ et $i',$ en sorte qu’on ait

$\mathrm {V} =\sin .{\frac {i\pi x}{l}}\sin .{\frac {i'\pi y}{l'}}.$

Après avoir multiplié les deux membres de l’équation $(a)$ par $\mathrm {V} dxdy,$ j’en prends les intégrales que j’étends à la membrane entière, ce qui donne

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} zdxdy}{dt^{2}}}=c^{2}\left(\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}dxdy+\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}dxdy\right).$

Dans le second membre de cette équation, j’intègre par partie, savoir : le premier terme relativement à $x$ et le second relativement à $y\,;$ à cause que les quantités $z$ et $\mathrm {V}$ sont nulles aux limites de ces intégrations, il vient

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} zdxdy}{dt^{2}}}=c^{2}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\left({\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dy^{2}}}\right)zdxdy\,;$

d’ailleurs on a identiquement,

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dy^{2}}}=-{\frac {\gamma '^{2}}{c^{2}}}\mathrm {V} ,$

en désignant par $\gamma '$ ce que devient $\gamma$ quand on met $i$ et $i'$ au lieu de $n$ et $n'\,;$ l’équation précédente est donc la même chose que

${\frac {d^{2}.\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} zdxdy}{dt^{2}}}+\gamma '^{2}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} zdxdy=0.$

En l’intégrant et désignant par $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ les deux constantes arbitraires, nous aurons