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$\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} zdxdy=\mathrm {A} \sin .\gamma 't+\mathrm {B} \cos .\gamma 't.\qquad (d)$

Si nous comptons le temps $t$ de l’origine du mouvement, et si nous supposons qu’on ait

$z=f(x,y),\qquad {\frac {dz}{dt}}=\operatorname {F} (x,y),$

quand $t=0,$ ces deux fonctions $f$ et $\operatorname {F}$ seront données pour toute l’étendue de la membrane dont elles exprimeront l’état initial. Or, en faisant $t=0$ dans l’équation $(d)$ et dans sa différentielle relative à $t,$ il en résultera

$\mathrm {A} ={\frac {1}{\gamma '}}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} \operatorname {F} (x,y)dxdy,\qquad \mathrm {B} ={\frac {1}{\gamma '}}\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {V} f(x,y)dxdy,$

pour les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Je substitue la formule $(c)$ à la place de $z$ dans le premier membre de l’équation $(d)\,;$ son second membre ne contenant que les sinus et cosinus de $\gamma 't,$ les coefficients de $\sin .\gamma t$ et $\cos .\gamma t$ devront être nuls dans le premier, excepté dans le cas de $\gamma =\gamma '\,;$ on aura donc

$\int _{0}^{l}\int _{0}^{l'}\mathrm {UV} dxdy=0,$

toutes les fois que $\gamma$ et $\gamma '$ seront différents. On a, en effet,

$\int _{0}^{l}\sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {i\pi x}{l}}dx=0,\qquad \int _{0}^{l'}\sin .{\frac {n'\pi y}{l'}}\sin .{\frac {i'\pi y}{l'}}dy=0,$

excepté lorsqu’on suppose $n=i,$ $n'=i',$ et par conséquent