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$\left.{\begin{aligned}\mathrm {R} _{3}&=\mathrm {P} _{1}=-k\left({\frac {du'}{d\zeta }}+{\frac {dw'}{dx}}\right),\\\mathrm {Q} _{3}&=\mathrm {P} _{2}=-k\left({\frac {du'}{dy}}+{\frac {dv'}{dx}}\right),\\\mathrm {R} _{2}&=\mathrm {Q} _{1}=-k\left({\frac {dv'}{d\zeta }}+{\frac {dw'}{dy}}\right),\\\mathrm {P} _{3}&=-k\left(3{\frac {du'}{dx}}+{\frac {dv'}{dy}}+{\frac {dw'}{d\zeta }}\right),\\\mathrm {Q} _{2}&=-k\left({\frac {du'}{dx}}+3{\frac {dv'}{dy}}+{\frac {dw'}{d\zeta }}\right),\\\mathrm {R} _{1}&=-k\left({\frac {du'}{dx}}+{\frac {dv'}{dy}}+3{\frac {dw'}{d\zeta }}\right)\end{aligned}}\right\}\quad$(1)

La variable $\zeta$ étant très-petite, si l’on développe les inconnues $u',v',w',$ suivant les puissances de $\zeta ,$ on aura des séries généralement très-convergentes. Nous exclurons l’exception qui pourrait avoir lieu, et qui proviendrait de ce que ces inconnues varieraient très-rapidement dans le sens de l’épaisseur, comme cela arriverait, par exemple, si leurs valeurs dépendaient du rapport ${\frac {\zeta }{\varepsilon }}.$ L’analyse suivante et les conséquences qui s’en déduisent seront fondées essentiellement sur la possibilité de ce développement. Ainsi, nous aurons ces séries très-convergentes :

${\begin{alignedat}{4}u'&=u&&+{\frac {du'}{d\zeta }}\zeta &&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}u'}{d\zeta ^{2}}}\zeta ^{2}&&+etc.,\\v'&=v&&+{\frac {dv'}{d\zeta }}\zeta &&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}v'}{d\zeta ^{2}}}\zeta ^{2}&&+etc.,\\w'&=z&&+{\frac {dw'}{d\zeta }}\zeta &&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}w'}{d\zeta ^{2}}}\zeta ^{2}&&+etc.,\end{alignedat}}$

qui résultent du théorème de Taylor, et dans les coefficients desquelles on fera $\zeta =0$ après les différentiations.